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第一章 数学基础

  对任意两实数a,b,称z=a+ib为复数,其中i²= -1。称i为虚数单位。a称为复数z的实部,记作a=Re(z) ; b称为复数的虚部,记作b=Im(b)。电学中为避免与电流记号i混淆,改用j表示虚数单位。本文统一使用数学上使用的i作为虚数单位记号。

  现有如下概念:

  (1)纯虚数:Re(z)=0,且Im(z)≠0;

  (2)复数相等:Re(z1)=Re(z2),且Im(z1)=Im(z2),有z1=z2;

  (3)复数系:全体复数,记为C

  (4)复平面:由于复数z由一对有序实数对(a,b)确定,因此复数系C可与给定的平面直角坐标系上的点一一对应,这样的表示复数的平面称作复平面;

  (5)代数形式:形如z=a+ib的表示复数的形式;

  (6)向量形式:复平面上原点O到点P的平面向量vct(OP);

  (7)极坐标形式:将平面直角坐标化为极坐标后,形如z=rθ的表示复数的形式,在电学中称相量;

  (8)三角形式:形如z=r(cos θ+i sin θ)的表示复数的形式。

复数的四则运算

  (1)两个复数的加法:令z1=a1+ib1,z2=a2+ib2,有

z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2)

  (2)两个复数的减法:令z1=a1+ib1,z2=a2+ib2,有

z1-z2=(a1-a2)+i(b1-b2)

  (3)两个复数的乘法:令z1=a1+ib1=r1(cos θ1+i sin θ1),z2=a2+ib2=r2(cos θ2+i sin θ2),有

zz2=(aa2-bb2)+i(ab2+ab1)=rr2[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]

  (4)两个复数的除法:令z1=a1+ib1=r1(cos θ1+i sin θ1),z2=a2+ib2=r2(cos θ2+i sin θ2),有

z1/z2=[(aa2+bb2)/(a2²+b2²)]+i[(ab1-ab2)/(a2²+b2²)]

=(r1/r2)[cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2)]

  复数的四则运算满足交换律、结合律、分配律。

共轭复数、复数的模与辐角

  (1)令z1=a1+ib1,z2=a2+ib2,若有a1=a2,b1=(-b2),则z1与z2一起称为共轭复数;

  (2)复数z=a+ib=r(cos θ+i sin θ)的模记作|z|,|z|=√(a²+b²)=r

  (3)复数z=a+ib=r(cos θ+i sin θ)的辐角记作Arg(z),Arg(z)=Arctan(b/a)=θ+2kπ(kZ)由于辐角有无穷多个,因此常用辐角主值arg(z)=arctan(z)=θ

棣莫弗(De Moivre)公式

  用于计算复数的乘方。复数z=r(cos θ+i sin θ)的n次方z^n按以下公式计算:

z^n=(r^n)(cos +i sin )

  复数的n次方根(n∈N*)则按以下公式计算:

z^(1/n)=[r^(1/n)]{cos[(θ+2kπ)/n]+i sin[(θ+2kπ)/n]},(k=0,1,…,n-1)

复数的基本初等函数

  (1)指数函数

  对于复数z=a+ib,称

w=e^z=(e^a)(cos b+i sin b)

为复数z的指数函数。特别地,有欧拉(Euler)公式

e^(iθ)=cos θ+i sin θ

  欧拉公式被誉为世界上最美的公式,当θ=π时,有

e^(iπ)+1=0

  包含自然界的最基本的五个数——自然对数的底e,虚数单位i,圆周率π,数的基本单位1和0。

  若底数不为e,则有

x^z=(x^a)[cos(b ln x)+i sin(b ln x)]= (x^a) ∠(b ln x),(xR

  (2)对数函数

  对于复数z=a+ib,称

w=Ln z=ln |z|+i Arg(z),(z≠0)

为复数z的对数函数,Ln z是多值函数,一般使用主值ln z

ln z=ln |z|+i arg(z)

  (3)幂函数

  对于复数z=a+ib,称

w=z^α=e^(α Ln z),(α为复常数,z≠0)

为复数z的幂函数,z^α一般是多值函数,分以下情况讨论:

  ①α为正整数n时,是单值函数

z^n=e^(n Ln z)=e^{n[ln |z|+i arg(z)+2kπ·i]}=(|z|^n)·e^[i·n·arg(z)]

  ②α=1/nnN*)时,是n值函数

z^(1/n)=e^[(Ln z)/n]=[|z|^(1/n)]·e^{i[arg(z)+2kπ]/n},(k=0,1,…,n-1)

  ③α=0时,z^0=1

  ④α为有理数(p/q)(pq为互质整数且q≠0)时,有q个值

z^(p/q)=e^[(p/q)·Ln z]=e^{[(p/q)·Ln z]+i·(p/q)·[arg(z)+2kπ]},(k=0,1,…,q-1)

  ⑤α为无理数或复数时,有无穷多值。

  (4)三角函数

  对于复数z=a+ib,称

cos z=[e^(iz)+e^(-iz)]/2=cos(a)ch(b)-i sin(a)sh(b)

sin z=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)=sin(a)ch(b)+i cos(a)sh(b)

分别为复数的余弦函数和正弦函数。实变函数的诱导公式、恒等变换定理对复变函数仍适用。复变函数cos z和sin z是复数域上的无界函数。复数的其他四个三角函数定义如下:

tan z=(sin z)/(cos z)

cot z=(cos z)/(sin z)

sec z=1/(cos z)

csc z=1/(sin z)

  (5)反三角函数

Arccos z=-i Ln[z+√(z²-1)]

Arcsin z=-i Ln[iz+√(1-z²)]

Arctan z=(i/2)Ln[(i+z)/(i-z)]

  (6)双曲函数与反双曲函数

sh z=(e^z-e^-z)/2,Arsh z=Ln[z+√(z²+1)]

ch z=(e^z+e^-z)/2,Arch z=Ln[z+√(z²-1)]

th z=(e^z+e^-z)/(e^z-e^-z),Arth z=(1/2)Ln[(1+z)/(1-z)]

cth z=(e^z-e^-z)/(e^z+e^-z),Arcth z=(1/2)Ln[(z+1)/(z-1)]


第二章 使用函数计算器计算复数的四则运算

  本章适用于未配置复数计算功能的计算器,对于像fx-991ES PLUS、fx-991CN X、fx-991EX、EL-W506/516X、EL-509/520/5160T、TI-36X Pro等拥有复数计算功能的函数计算器,可忽略本章内容。

  以fx-82CN X为例,如果需要计算复数的加减法,可以直接将复数代数形式的实部与实部、虚部与虚部分别相加或相减,得到结果。当复数不是代数形式时(如极坐标形式),应当利用坐标转换函数Rec()将坐标转换为直角坐标。

  例1:计算(2+3i)+(9+7i)

  解:计算实部,2+9=11;计算虚部,3+7=10。结果为11+10i。

  例2:计算(3-4i)+(10∠135°)

  解:在以度数为角度单位的条件下(屏幕上方显示符号“D”),输入Rec(10,135),得到直角坐标转换结果。

  对于特殊的角度(15°的整数倍),模在一定范围内时,此时单独查看变量xy可以得到带根号的结果。(这一步可以省略)

  在不另外使用变量xy的情况下,可以直接将xy用于计算。分别计算实部与虚部相加的结果如下:

  此时即得到结果为(3-5√2)+(-4+5√2)i。如果需要得到极坐标结果,此时应该使用Pol()函数:

  计算复数的乘除法时,使用极坐标形式较为方便。因此如果给的复数是代数形式,要使用坐标转换函数Pol()先将坐标转化为极坐标再计算。

  例3:计算(3-4i)÷(10∠135°)

  解:将3-4i转化为极坐标形式,输入Pol(3,-4),得到极坐标转换结果:

  按照复数乘法公式,分别计算模和辐角:

  由于辐角主值取值范围在(-180°,180°]之内,因此需要对辐角进一步处理,得到结果(1/2)∠171.87°:

  和例2类似,如果需要代数形式的结果,可以再使用Rec()函数转化,得到结果-0.495+0.0707i:

  应当注意的是,每一次使用Pol()或者Rec()函数之后,变量xy的值会立即更新,因此如果计算时如果需要使用变量,尽量避免使用xy这两个变量。

  不同品牌的计算器操作方式大同小异。例如夏普EL-W531T的坐标转换是先输入坐标然后再执行→或→xy命令。EL-W531T的例3计算如下:

  拥有复数计算功能的计算器在复数的四则运算与结果转换方面使用起来就非常轻松,如果需要时常计算复数四则运算,建议选用fx-991ES PLUS或fx-991CN X、TI-36X Pro、EL-W506T等配置有复数功能的函数计算器。如下所示,在这些高级函数计算器的复数计算模式中,可以直接得到结果:


第三章 使用函数计算器计算复数的乘方与开方

  对于没有配置复数功能的函数计算器,我们需要手动输入公式来完成计算复数的乘方与开方。

  例4:计算(2+3i)³

  使用fx-82CN X与EL-W531T解:首先将2+3i化为极坐标形式,这时候模与辐角就可分别存入变量xy中。

  然后根据棣莫弗公式,复数z=rθn次方为z^n=(r^n)∠(),此时直接输入x^3和3y并转化为直角坐标:

  此时即得到结果-46+9i。这一方法可以适用于任意次幂的计算。

  例5:计算√(2+3i)

  使用fx-82CN X与EL-W531T解:根据棣莫弗公式,此时应当有两个根。由于√(2+3i)=(2+3i)^0.5,仍然按照上面的方法计算。

  计算第二个根时,需要重新计算一次Pol(2,3),计算器的重现功能让我们不用再输入一遍表达式,直接按上方向键↑调出历史计算,再按一次=即可将xy再次更新回rθ。第二个根的辐角是0.5(y+360),即弧度制下的(1/2)(y+2π)。

  这样就得到了√(2+3i)=±1.674±0.896i。这一结果还可以进一步转化为极坐标形式:

  例6:计算1/(3+4i)

  使用fx-82CN X与EL-W531T解:方法与例4和例5类似。

  对于有复数计算功能的函数计算器(如fx-991CN X、fx-991ES PLUS、EL-W506T、EL-W509T等),一般只能直接计算平方、立方、倒数,CASIO的CLASSWIZ系列的复数功能可计算复数的任意整数次幂。如果遇到开方的情况,可以直接利用复数模式中的模与辐角函数来计算。

  例7:计算√(2+3i)

  使用fx-991CN X解:进入复数模式,直接输入公式,按S-D切换结果。

  夏普函数计算器的计算方法类似:

  例8:使用fx-991CN X的公式计算功能(CALC)计算例4~例6。

  解:进入复数模式,首先输入公式|A+Bi|^C∠(CArg(A+Bi))。然后按CALC键,为各变量指定相应的值,按=确认。

  按=得出结果,再次按下=可以连续计算,重新指定变量的值。

  按上、下方向键选取要重新指定的值,输入并按=确定。例5的计算与结果:

  例6的计算结果:

  公式计算这一功能可以输入一次公式而多次使用,提高计算效率。


第四章 使用函数计算器计算复数的初等函数

  复数的初等函数,只能直接按照公式来计算。没有复数功能的函数计算器按照实部与虚部分开的原则来计算,有复数功能的函数计算器,可以直接输入公式计算。

  例9:根据指数函数公式e^z=(e^a)(cos b+i sin b)(其中z=a+ib),计算e^(2+3i)。

  注意:根据指数函数的定义,计算必须在弧度制下进行!

  使用fx-82CN X计算:首先按SHIFT、设置,选择2:角度单位,将角度单位改为弧度。

  输入e^2×cos(3),得到实部;然后输入e^2×sin(3),得到虚部:

  使用fx-991CN X计算,进入复数模式,更改角度单位为弧度,输入公式即可。

  其他的初等函数与之类似,按照公式计算即可。如果代数形式的公式定义中涉及三角函数,一定要使用弧度作为当前的角度单位,不然就会得到错误的计算结果。例如上例中的计算,如果角度单位被指定为度数,计算结果则会出错: