CASIO fx-CG系列图形计算器CAS应用程序Khicasen

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  CASIO彩屏图形计算器fx-CG10、fx-CG20、fx-CG50原生不带有CAS(Computer Algebra System,计算机代数系统)功能,虽然早期有诸如Eigenmath等简单的第三方CAS应用程序(Add-in),但其计算能力不容乐观,达不到一般的CAS使用需求,因此国外有人制作了Xcas(或称χcas,Khicas,Chicas)的fx-CG系列第三方CAS应用。这一Add-in经过实际的测试,其拥有的功能以及计算能力都非常不错,本文将对该Add-in提供简单的评测,以供参考。

  Xcas是一款比较强大的CAS应用程序,在各类平台下都有应用程序,例如HP Prime图形计算器的CAS功能以及其他的部分功能即全部来源于Xcas。因此fx-CG系列拥有该应用程序之后,也能够拥有非常强大的CAS计算能力,甚至在部分方面超越了ClassPad(fx-CP400、ClassPad 330 PLUS等)、TI-Nspire、TI-89 Titanium等计算器自带的CAS功能。

Xcas官方网站:http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac.html

fx-CG系列Xcas应用文档:https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/casio/khicasioen.html

fx-CG系列Xcas应用下载:https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/casio/khicasen.g3a

  在fx-CG系列图形计算器上安装了Khicasen应用之后,进入应用首先会提示设置时间。此时直接输入指令即可设置时间,该功能补充了fx-CG系列图形计算器没有的时钟功能。

  下方菜单对应F1-F6功能按键,其中前三个按键里黄色的字符通过SHIFT键调用,红色的字符通过ALPHA键调用。例如SHIFT、F3对应的是积分(int),我们可以尝试计算一个不定积分:

  可以看到,计算结果以自然书写显示方式呈现,更加直观、容易理解。而且计算过程耗时也比较短。

  F4对应的CATALOG按键是调用Xcas内置的分类目录菜单,用户可以根据指令分类找到自己需要的命令。

  1:All(全部命令),2:Algebra(代数运算,包括因式分解、展开、简化代数式等);3:Linear algebra(线性代数,包括一些基本的线性代数指令);4:Calculus(微积分,包括微分方程、导数、积分、拉普拉斯变换与逆变换、无穷符号、极限、求和、泰勒展开等);5:Arithmetic(算术与数论);6:Complexes(复数);7:Graphs(绘图,包括函数绘制、参数图象绘制、极坐标图象绘制、微分方程斜率场绘制等等)。

  8:Polynomials(多项式运算);9:Pribabilities(概率与分布运算,包括各种分布函数、误差函数等等);10:Program_cmds(程序指令);11:Reals(实数运算);12:Solve(求解运算,包括一般的函数求解、复数方程求解、数值求解、微分方程求解、数列通项公式求解等等);13:Statistics(统计学运算);14:Trigonometry(三角函数运算,包括各类三角变换的功能)。

  15:Options(选项);16:Lists(列表运算);17:Matrices(矩阵计算,包括各类矩阵分析的功能,如Jordan标准形、奇异值分解等);18:Programs(程序,包括一些Python程序指令);19:Turtle shift QUIT(小海龟编程指令)。

  每一菜单下的指令都有帮助菜单,选中指令时,按F6进入帮助菜单,包括对该指令的说明以及语法帮助,还有示例操作。

  F5是大小写字母转换,F6是Xcas相关的操作及模式设置。

  按AC/ON可以选择是否清除历史记录。

  以下将对一些CAS计算的功能进行举例。

  导数计算。

  按EXE执行计算之后,首先给出自然书写显示形式的结果,可以按方向键选定算式的区域,如果需要简化结果,可以按F2(Simp)执行简化选定区域的算式。这一操作与HP 50g的EQW编辑器有些相似。

  返回到计算界面,结果以线性形式显示。

  积分计算,开头举例是一个不定积分,这里再计算一个定积分。

  拉普拉斯逆变换、拉普拉斯变换:

  微分方程求解:

  极限计算:

  非线性方程符号解:

  数列通项公式求解:(以斐波那契数列为例)

  因式分解:

  矩阵的特征向量:

  矩阵的Jordan标准形:

  矩阵的奇异值分解:

  微分方程斜率场绘图:

  三角变换:

  以上只是fx-CG系列图形计算器Khicasen计算功能的冰山一角,更多的功能还需要用户深度探索。

  Khicasen也同样支持Python,能够直接运行计算器内的*.py程序。如果需要Python的语法支持(例如乘方使用“**”符号等),需要勾选设置里面的Python选项。

  以官方Python程序例程OCTA.py为例,在F6菜单中选择Run script,然后选择OCTA.py文件,按EXE编译并运行。

  如果需要编辑Python程序,可以选择F6菜单中的Edit script。

  Khicasen里面的Python工具和fx-CG50内置的Python在命令和使用方面存在一些差别,有些fx-CG50内置的Python指令在Khicasen里面不包括,使用时需要注意。


  以上就是fx-CG系列图形计算器的第三方CAS应用程序Khicasen的简要介绍,更多的内容请参考Xcas文档。

CASIO早期可编程函数计算器简介

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  这里所讨论的CASIO早期可编程函数计算器,包括20世纪80年代推出的fx-180P、fx-3600P等型号以及20世纪90年代推出的fx-3600Pv、fx-3900Pv等型号。这些可编程函数计算器的共同点在于:

  (1)使用按键编程的方式进行程序的编辑与录入。所谓按键编程,即写入程序的方式是记录按下的按键顺序;

  (2)通过程序选择按键来直接选择或调用程序,如[P1]、[P2]等;

  (3)无法在编辑程序的过程中删除程序的步骤(fx-3900Pv除外),只能使用[PCL]键一次性将该程序全部清除;

  (4)程序的基本语句除按顺序计算外,只有两个条件跳转命令“x>0”、“x≤M”以及一个无条件跳转命令“RTN”,这三个命令都会让程序返回至程序的开头处;

  (5)大多数可执行辛普森法一元数值定积分计算,积分式按一定方式存储在程序区中,并在“∫dx”模式中进行积分。


一、机型展示与对比

  (1)fx-180P:使用两节AA型电池供电,内部计算位数11位,2程序存储区共38步可用;除基本计算外,还拥有单、双变量统计与线性回归的功能,无双曲函数功能(hyp)。

  (2)fx-3600P:使用一个CR2025供电,内部计算位数11位,2程序存储区共38步可用;除基本计算外,还拥有单、双变量统计与线性回归的功能。

  (3)fx-3600Pv:使用一个GR925(SR925)与太阳能电池双重供电,内部计算位数11位,2程序存储区共38步可用;除基本计算外,还拥有单、双变量统计与线性回归的功能、进制转换与位运算功能。

  (4)fx-3900Pv:使用一个CR2025供电,内部计算位数11位,4程序存储区共300步可用,可显示程序按键并编辑修改;除基本计算外,还拥有双变量统计与线性回归的功能,无双曲函数功能(hyp)。


二、编程功能简介

  CASIO早期可编程函数计算器,使用按键编程的方式来实现编程。写入程序时使用“LRN”模式,而运行程序则在基本计算模式“RUN”中进行。

【程序的写入】

  写入程序时,首先进入“LRN”模式,然后选择一个程序存储区。此时计算器开始记录按键的顺序。例如需要计算公式“S=πr²”,则按键顺序为[π]、[×]、[ENT]、[x²]、[=]。其中“ENT”用于程序运行时输入变量的值。

【程序的运行】

  运行程序时,返回到“RUN”模式,直接按相应的程序区按键,当计算器显示“ENT”时,程序在这里中断,输入公式中的变量值之后再按[RUN]键,即可继续执行程序。

  如果需要反复执行程序,则需要利用[RTN]来实现无条件跳转;如果需要执行一个循环或者判断的过程,可以使用[x>0]、[x≤M]进行条件的判断。

  程序指令共有以下五个:

  (1)ENT:中断程序并提示输入变量的值;

  (2)HLT:中断程序并显示当前计算结果的值;

  (3)x>0:当前计算的结果若大于0,则跳转到程序的开头;

  (4)x≤M:当前计算的结果若小于或等于独立存储器内变量M的值,则跳转到程序的开头;

  (5)RTN:直接无条件跳转到程序的开头。

  运行控制指令有两个:

  (1)RUN:程序被中断时,让程序继续运行;

  (2)AC:退出程序。

  【例】

  以从1分别到10、100、1000的自然数求和为例,编写程序。

  进入LRN模式,选择程序区(假设这里选择P1),最好选择之后按PCL清除一次该程序区。程序如下(17步):

  1、Kin+2、Kout2、Kin+1、Kout2、+、1、=、x≤M、Kout1、HLT、1、Kin1、Kin2、ENT、Min、RTN

  运行前,将1赋值给K1、K2,然后将10赋值给M(使用Min),再按[P1],等待一会之后计算器进入中断状态(HLT)并显示结果55;

  然后按[RUN]继续执行程序,此时程序再次被ENT中断,提示输入数值,此时输入100,按[RUN],等待一段时间之后,计算器被HLT中断,显示结果5050;

  再按[RUN]执行程序,然后被ENT中断,输入1000,再按[RUN],等待较长的一段时间,计算器被HLT中断,显示结果500500。

  按[AC]退出程序。

  (注:像Kin+2指令,是由三个按键[Kin]、[+]、[2]完成的,其含义为将当前计算的结果加上K2,然后把这一结果重新赋值给K2;而Kin1指令是指将当前计算结果赋值给K1;Kout2指令则是将K2的值调用出来作为当前的结果。)


三、积分功能简介

  在这类可编程函数计算器上进行积分时,被积式的写入需要使用LRN模式。写入被积式前,需要按[Min]键;然后按照被积式的书写顺序输入,积分变量x使用[MR]键代替;被积式输入完成后,还需要按[=]键再退出被积式的写入。与程序录入一样,最好在写入被积式前按[PCL]清除当前程序区的程序。

  执行积分计算,需要进入“∫dx”模式。先按被积式所在的程序区按键,此时计算器显示“ENT”,提示输入辛普森积分法的分区数n。分区数n只能是1~9之间的整数,输入分区数后,按[HLT]确认,计算器将分区数转为积分区间的分区个数2^n;然后输入积分下限,按[ENT],再输入积分上限,按[ENT],计算器开始进行积分计算。经过一段时间后,计算器给出积分结果,此时结果显示为科学记数法,需要按[=]转换为常规显示。

  【例】

  计算1/(1+x^2)从0到1的定积分,分区个数为2^5=32。

  进入LRN模式,选择程序区(假设为P2,此时最好再按[PCL]清除该程序区),然后输入:

  Min、1、÷、(、1、+、MR、x²、)、=

  然后进入∫dx模式,选择[P2],然后输入分区数5,按[HLT];输入下限0,按[ENT];输入上限1,按[ENT],计算器开始计算积分。

  等待一段时间后显示结果:7.85398163E-01,然后按[=]得到积分结果0.785398163。

  定积分计算完成后,K1~K6这六个存储器中分别存入了以下内容:

  K1:积分下限;K2:积分上限;K3:分区个数;

  K4:被积式在积分下限的值;K5:被积式在积分上限的值;K6:积分结果。


  由于现在的可编程函数计算器以及图形计算器的程序存储容量大、处理速度快、编写方便,这些早期的可编程函数计算器的编程方式或许比较难以被现在的用户接受,程序一旦稍微复杂,对于编程本身来说难度会直线上升,毕竟要想尽办法在有限的步数内写出程序,在这一侧面,这些老计算器也间接地印证了那个年代的人们物尽其用的优秀精神。

EL-W82TL的秘密

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主要评测部分见https://www.haruakira.com/2017/05/08/elw531tl/

TI-84 Plus图形计算器的方程(组)求解

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  本文所述内容基于TI-84 Plus操作系统OS 2.55以上版本、TI-84 Plus CE操作系统OS 5.2.1以上版本讲述。请保证计算器的操作系统是最新的,若不是最新的操作系统,可以从德州仪器教育技术官网获得。


【一元方程的求解】

  对于TI-84 Plus这款经典的计算器,很多人抱怨找不到方程求解器,或者认为最容易找到的MATH菜单中的那个方程求解器“Solver…”功能太过于简单,因此希望有一个比较好的方程求解功能。

  为了内容的完整性,首先还是先提一下最容易找到的“Solver…”。

  按下MATH键,按上方向键就能看到“Solver…”,按ENTER就能够进入输入方程的界面。

  TI-84 Plus系列的黑白屏版本只能像上图一样,输入“0=f(x)”形式的方程。例如要求解x^3-2x^2=4x+7,需要将方程变形,然后在计算器上面输入。

  按ENTER,计算器提示给X输入一个初始值。我们可以尝试输入一个估计值,当然也可以直接利用X当前的值。输入估计值之后,如果按下ENTER,光标会跳到下一行,即选定求根区间。一般为了方便这一步骤一般不执行。

  求解之前,必须确保闪动的光标在需要求解的变量所在行。确认完成,按ALPHA、ENTER(即SOLVE),等待一段时间,计算器就给出了方程的近似解。

  这一界面上,变量X左侧多出一个小方块,表示此时变量X的值就是解。同时,下方多出一行用小方块标出的求解误差信息,表示将解得的近似根代入方程,左边与右边的差值大小。这个差值越小,说明得到的解越精确。

  这时候如果按下CLEAR,小方块会消失,可以再次输入初值求解(这一点对于有多重实根的方程很重要);如果按上方向键,会返回到方程输入界面,可以修改方程。但是在求解完成的界面下按CLEAR之后按上方向键是无效的。

  退出求解方程功能,按2ND、MODE(即QUIT),回到主界面。

  对于TI-84 Plus CE,操作是类似的。不同的是TI-84 Plus CE可以分别输入方程的左右两边,而且输入的方程可以使用自然书写(MathPrint)的方式来输入使得表达式更直观,求解的时候既可以按alpha、enter(solve),也可以直接按graph(f5)求解。

  第二种方法是直接在主界面使用solve()函数。这个函数只能通过CATALOG菜单来调用,即按2ND、0,然后按LN(跳转到字母S),按方向键翻找,找到“solve(”。如果不知道这个函数如何使用,计算器上若有帮助文档应用(CtlgHelp),开启之后可以按+来查看语法。

  由此可知,这一函数的语法是solve(表达式,变量,估计值[,下限,上限]),其中“[ ]”及“[ ]”里面的内容是可以不用输入的,表达式也只能是“f(x)=0”形式中的“f(x)”。仍然使用上面的例子,在计算器上输入solve(X^3-2X^2-4X-7,X,0),按ENTER即可得到解。

  TI-84 Plus CE上的使用方法与TI-84 Plus一致。

  如果solve函数能够很方便地调用,或许前面那个“Solver…”就没人使用了,这可能是solve只能通过CATALOG调用的原因。为了节省篇幅,后续的内容不再赘述TI-84 Plus CE的情况,TI-84 Plus CE的操作与TI-84 Plus是十分相似的。


【线性方程组的求解】

  对于实系数线性方程组,我们可以通过化简方程的增广矩阵来求解。能够求解的未知数的个数受能够支持矩阵的维数限制,最大能够编辑50×51大小的矩阵。

  例:求解三元线性方程组{2x-y+z=0,3x+2y-5z=1,x+3y-2z=4}。

  按2ND、[x^-1](即MATRIX),按右方向键移到矩阵的MATH菜单,然后向下翻,直到找到“rref(”,输入到屏幕上。按ALPHA、ZOOM(即打开F3快捷菜单),使用ENTER配合方向键选择行数为3、列数为4,移动框到OK上,按ENTER输入3×4的矩阵模板。每输入一个元素,按一次右方向键(不要使用ENTER键),直到输入完成,补上括号。若矩阵大小超过6×6,应当使用MATRIX菜单中的EDIT功能来编辑大矩阵,输入矩阵使用NAMES下的矩阵。

  按ENTER得到结果。此时可以按左或右方向键显示不完整的内容。如果这时候按下其他方向键或者其他按键,结果将不能再滚动显示,只能复制下来在编辑的状态下显示。

  如果需要得到分数结果,可以在输入表达式之后按ALPHA、Y=(即调用F1快捷键),按4选择分数转换命令得到分数结果。

  矩阵的行最简式表示该方程组的解就是{x=13/28,y=47/28,z=3/4}。这一方法不仅可以求解常规的实系数线性方程组,还可以求解齐次线性方程组和非齐次线性方程组,只需要在化简系数矩阵或者增广矩阵之后自己再列出同解方程组,即可得到方程组的基础解系,进而得到通解。


【一元方程及二阶线性方程组的图象解法】

  TI-84 Plus是图形计算器,所以我们也可以利用图像绘制的功能来求解。仍然使用前述的一元方程为例。在图象函数编辑界面中输入函数表达式,按ZOOM、4,然后按ZOOM、0可以得到较为直观的图象。

  按2ND、TRACE(即CALC),选择“zero”,即求取函数零点的功能。然后计算器询问零点的下限、上限、估计值,根据图像上的点来输入或者用方向键左右移动到合适的位置,按ENTER确认,完成之后,计算器即给出零点的坐标。图中X的值就是方程的近似根。

  对于二阶线性方程组,需要在图象函数编辑界面中输入两个函数,必须将“ax+by=c”的形式化为“y=(c-ax)/b”的形式再输入。例如求解{x+2y=3,4x+5y=6},应当输入Y1=(3-X)/2、Y2=(6-4x)/5。对于这个例子可以使用ZOOM、4标准小数视窗。

  按2ND、TRACE(即CALC),选择“intersect”,即交点功能。选择第一条曲线,再选择第二条曲线,输入估计值。这些步骤都需要按ENTER确认。完成这些步骤就可以得到交点坐标,“X=-1    Y=2”就是方程组的解。

  寻求交点的解法也可以用于求解其他的一元方程,只需要将方程两边的内容分别输入到两个图象函数中,绘制图象,求得交点的横坐标即是方程的解。


【使用PlySmlt2应用求解线性方程组与多项式方程】

  PlySmlt2应用是德州仪器官方提供的以APP形式安装在计算器上的方程求解器应用。如果计算器上缺少该应用,可前往德州仪器教育技术官网下载。该应用可以求解1~10次的多项式方程,也可以求解2~10元的线性方程组。这个应用的优势在于可以直接输入系数,然后一次性得到所有的解(包括多项式方程的复数根),但大多数情况都是近似根。线性方程组不限制系数矩阵为非奇异阵,因此可以直接给出通解。

  主界面、多项式方程求解设置界面、线性方程组求解界面:

  线性方程组求解示例:

  多项式方程求解示例:


  以上就是TI-84 Plus系列计算器的方程求解的几种方法。由于TI-84 Plus没有CAS(计算机代数系统),因此对于多元非线性方程组(例如二元二次方程组)是无法求解的。

函数计算器的复数计算

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第一章 数学基础

  对任意两实数a,b,称z=a+ib为复数,其中i²= -1。称i为虚数单位。a称为复数z的实部,记作a=Re(z) ; b称为复数的虚部,记作b=Im(b)。电学中为避免与电流记号i混淆,改用j表示虚数单位。本文统一使用数学上使用的i作为虚数单位记号。

  现有如下概念:

  (1)纯虚数:Re(z)=0,且Im(z)≠0;

  (2)复数相等:Re(z1)=Re(z2),且Im(z1)=Im(z2),有z1=z2;

  (3)复数系:全体复数,记为C

  (4)复平面:由于复数z由一对有序实数对(a,b)确定,因此复数系C可与给定的平面直角坐标系上的点一一对应,这样的表示复数的平面称作复平面;

  (5)代数形式:形如z=a+ib的表示复数的形式;

  (6)向量形式:复平面上原点O到点P的平面向量vct(OP);

  (7)极坐标形式:将平面直角坐标化为极坐标后,形如z=rθ的表示复数的形式,在电学中称相量;

  (8)三角形式:形如z=r(cos θ+i sin θ)的表示复数的形式。

复数的四则运算

  (1)两个复数的加法:令z1=a1+ib1,z2=a2+ib2,有

z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2)

  (2)两个复数的减法:令z1=a1+ib1,z2=a2+ib2,有

z1-z2=(a1-a2)+i(b1-b2)

  (3)两个复数的乘法:令z1=a1+ib1=r1(cos θ1+i sin θ1),z2=a2+ib2=r2(cos θ2+i sin θ2),有

zz2=(aa2-bb2)+i(ab2+ab1)=rr2[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]

  (4)两个复数的除法:令z1=a1+ib1=r1(cos θ1+i sin θ1),z2=a2+ib2=r2(cos θ2+i sin θ2),有

z1/z2=[(aa2+bb2)/(a2²+b2²)]+i[(ab1-ab2)/(a2²+b2²)]

=(r1/r2)[cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2)]

  复数的四则运算满足交换律、结合律、分配律。

共轭复数、复数的模与辐角

  (1)令z1=a1+ib1,z2=a2+ib2,若有a1=a2,b1=(-b2),则z1与z2一起称为共轭复数;

  (2)复数z=a+ib=r(cos θ+i sin θ)的模记作|z|,|z|=√(a²+b²)=r

  (3)复数z=a+ib=r(cos θ+i sin θ)的辐角记作Arg(z),Arg(z)=Arctan(b/a)=θ+2kπ(kZ)由于辐角有无穷多个,因此常用辐角主值arg(z)=arctan(z)=θ

棣莫弗(De Moivre)公式

  用于计算复数的乘方。复数z=r(cos θ+i sin θ)的n次方z^n按以下公式计算:

z^n=(r^n)(cos +i sin )

  复数的n次方根(n∈N*)则按以下公式计算:

z^(1/n)=[r^(1/n)]{cos[(θ+2kπ)/n]+i sin[(θ+2kπ)/n]},(k=0,1,…,n-1)

复数的基本初等函数

  (1)指数函数

  对于复数z=a+ib,称

w=e^z=(e^a)(cos b+i sin b)

为复数z的指数函数。特别地,有欧拉(Euler)公式

e^(iθ)=cos θ+i sin θ

  欧拉公式被誉为世界上最美的公式,当θ=π时,有

e^(iπ)+1=0

  包含自然界的最基本的五个数——自然对数的底e,虚数单位i,圆周率π,数的基本单位1和0。

  若底数不为e,则有

x^z=(x^a)[cos(b ln x)+i sin(b ln x)]= (x^a) ∠(b ln x),(xR

  (2)对数函数

  对于复数z=a+ib,称

w=Ln z=ln |z|+i Arg(z),(z≠0)

为复数z的对数函数,Ln z是多值函数,一般使用主值ln z

ln z=ln |z|+i arg(z)

  (3)幂函数

  对于复数z=a+ib,称

w=z^α=e^(α Ln z),(α为复常数,z≠0)

为复数z的幂函数,z^α一般是多值函数,分以下情况讨论:

  ①α为正整数n时,是单值函数

z^n=e^(n Ln z)=e^{n[ln |z|+i arg(z)+2kπ·i]}=(|z|^n)·e^[i·n·arg(z)]

  ②α=1/nnN*)时,是n值函数

z^(1/n)=e^[(Ln z)/n]=[|z|^(1/n)]·e^{i[arg(z)+2kπ]/n},(k=0,1,…,n-1)

  ③α=0时,z^0=1

  ④α为有理数(p/q)(pq为互质整数且q≠0)时,有q个值

z^(p/q)=e^[(p/q)·Ln z]=e^{[(p/q)·Ln z]+i·(p/q)·[arg(z)+2kπ]},(k=0,1,…,q-1)

  ⑤α为无理数或复数时,有无穷多值。

  (4)三角函数

  对于复数z=a+ib,称

cos z=[e^(iz)+e^(-iz)]/2=cos(a)ch(b)-i sin(a)sh(b)

sin z=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)=sin(a)ch(b)+i cos(a)sh(b)

分别为复数的余弦函数和正弦函数。实变函数的诱导公式、恒等变换定理对复变函数仍适用。复变函数cos z和sin z是复数域上的无界函数。复数的其他四个三角函数定义如下:

tan z=(sin z)/(cos z)

cot z=(cos z)/(sin z)

sec z=1/(cos z)

csc z=1/(sin z)

  (5)反三角函数

Arccos z=-i Ln[z+√(z²-1)]

Arcsin z=-i Ln[iz+√(1-z²)]

Arctan z=(i/2)Ln[(i+z)/(i-z)]

  (6)双曲函数与反双曲函数

sh z=(e^z-e^-z)/2,Arsh z=Ln[z+√(z²+1)]

ch z=(e^z+e^-z)/2,Arch z=Ln[z+√(z²-1)]

th z=(e^z+e^-z)/(e^z-e^-z),Arth z=(1/2)Ln[(1+z)/(1-z)]

cth z=(e^z-e^-z)/(e^z+e^-z),Arcth z=(1/2)Ln[(z+1)/(z-1)]


第二章 使用函数计算器计算复数的四则运算

  本章适用于未配置复数计算功能的计算器,对于像fx-991ES PLUS、fx-991CN X、fx-991EX、EL-W506/516X、EL-509/520/5160T、TI-36X Pro等拥有复数计算功能的函数计算器,可忽略本章内容。

  以fx-82CN X为例,如果需要计算复数的加减法,可以直接将复数代数形式的实部与实部、虚部与虚部分别相加或相减,得到结果。当复数不是代数形式时(如极坐标形式),应当利用坐标转换函数Rec()将坐标转换为直角坐标。

  例1:计算(2+3i)+(9+7i)

  解:计算实部,2+9=11;计算虚部,3+7=10。结果为11+10i。

  例2:计算(3-4i)+(10∠135°)

  解:在以度数为角度单位的条件下(屏幕上方显示符号“D”),输入Rec(10,135),得到直角坐标转换结果。

  对于特殊的角度(15°的整数倍),模在一定范围内时,此时单独查看变量xy可以得到带根号的结果。(这一步可以省略)

  在不另外使用变量xy的情况下,可以直接将xy用于计算。分别计算实部与虚部相加的结果如下:

  此时即得到结果为(3-5√2)+(-4+5√2)i。如果需要得到极坐标结果,此时应该使用Pol()函数:

  计算复数的乘除法时,使用极坐标形式较为方便。因此如果给的复数是代数形式,要使用坐标转换函数Pol()先将坐标转化为极坐标再计算。

  例3:计算(3-4i)÷(10∠135°)

  解:将3-4i转化为极坐标形式,输入Pol(3,-4),得到极坐标转换结果:

  按照复数乘法公式,分别计算模和辐角:

  由于辐角主值取值范围在(-180°,180°]之内,因此需要对辐角进一步处理,得到结果(1/2)∠171.87°:

  和例2类似,如果需要代数形式的结果,可以再使用Rec()函数转化,得到结果-0.495+0.0707i:

  应当注意的是,每一次使用Pol()或者Rec()函数之后,变量xy的值会立即更新,因此如果计算时如果需要使用变量,尽量避免使用xy这两个变量。

  不同品牌的计算器操作方式大同小异。例如夏普EL-W531T的坐标转换是先输入坐标然后再执行→或→xy命令。EL-W531T的例3计算如下:

  拥有复数计算功能的计算器在复数的四则运算与结果转换方面使用起来就非常轻松,如果需要时常计算复数四则运算,建议选用fx-991ES PLUS或fx-991CN X、TI-36X Pro、EL-W506T等配置有复数功能的函数计算器。如下所示,在这些高级函数计算器的复数计算模式中,可以直接得到结果:


第三章 使用函数计算器计算复数的乘方与开方

  对于没有配置复数功能的函数计算器,我们需要手动输入公式来完成计算复数的乘方与开方。

  例4:计算(2+3i)³

  使用fx-82CN X与EL-W531T解:首先将2+3i化为极坐标形式,这时候模与辐角就可分别存入变量xy中。

  然后根据棣莫弗公式,复数z=rθn次方为z^n=(r^n)∠(),此时直接输入x^3和3y并转化为直角坐标:

  此时即得到结果-46+9i。这一方法可以适用于任意次幂的计算。

  例5:计算√(2+3i)

  使用fx-82CN X与EL-W531T解:根据棣莫弗公式,此时应当有两个根。由于√(2+3i)=(2+3i)^0.5,仍然按照上面的方法计算。

  计算第二个根时,需要重新计算一次Pol(2,3),计算器的重现功能让我们不用再输入一遍表达式,直接按上方向键↑调出历史计算,再按一次=即可将xy再次更新回rθ。第二个根的辐角是0.5(y+360),即弧度制下的(1/2)(y+2π)。

  这样就得到了√(2+3i)=±1.674±0.896i。这一结果还可以进一步转化为极坐标形式:

  例6:计算1/(3+4i)

  使用fx-82CN X与EL-W531T解:方法与例4和例5类似。

  对于有复数计算功能的函数计算器(如fx-991CN X、fx-991ES PLUS、EL-W506T、EL-W509T等),一般只能直接计算平方、立方、倒数,CASIO的CLASSWIZ系列的复数功能可计算复数的任意整数次幂。如果遇到开方的情况,可以直接利用复数模式中的模与辐角函数来计算。

  例7:计算√(2+3i)

  使用fx-991CN X解:进入复数模式,直接输入公式,按S-D切换结果。

  夏普函数计算器的计算方法类似:

  例8:使用fx-991CN X的公式计算功能(CALC)计算例4~例6。

  解:进入复数模式,首先输入公式|A+Bi|^C∠(CArg(A+Bi))。然后按CALC键,为各变量指定相应的值,按=确认。

  按=得出结果,再次按下=可以连续计算,重新指定变量的值。

  按上、下方向键选取要重新指定的值,输入并按=确定。例5的计算与结果:

  例6的计算结果:

  公式计算这一功能可以输入一次公式而多次使用,提高计算效率。


第四章 使用函数计算器计算复数的初等函数

  复数的初等函数,只能直接按照公式来计算。没有复数功能的函数计算器按照实部与虚部分开的原则来计算,有复数功能的函数计算器,可以直接输入公式计算。

  例9:根据指数函数公式e^z=(e^a)(cos b+i sin b)(其中z=a+ib),计算e^(2+3i)。

  注意:根据指数函数的定义,计算必须在弧度制下进行!

  使用fx-82CN X计算:首先按SHIFT、设置,选择2:角度单位,将角度单位改为弧度。

  输入e^2×cos(3),得到实部;然后输入e^2×sin(3),得到虚部:

  使用fx-991CN X计算,进入复数模式,更改角度单位为弧度,输入公式即可。

  其他的初等函数与之类似,按照公式计算即可。如果代数形式的公式定义中涉及三角函数,一定要使用弧度作为当前的角度单位,不然就会得到错误的计算结果。例如上例中的计算,如果角度单位被指定为度数,计算结果则会出错:

浅谈在函数计算器或普通图形计算器上执行广义积分的计算

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第一部分 无穷限广义积分的计算

  一直有人会问函数计算器怎么输入无穷大,问这个问题的目的一般是需要计算带有无穷限(+∞或者-∞)的广义积分(或称反常积分)。我们有时对这个问题的回答一般是建议购买带有计算机代数系统(CAS)的计算器以直接输入“∞”符号进行积分。由于带有CAS的计算器价格非常昂贵,一般用户难以承受,况且有时候为了算一个广义积分而专门破费也不太划算。因此,我们有必要找出一种有效的方法来使得函数计算器可以计算广义积分。

  首先,有部分人肯定会按照下面这个方法来解决问题:既然函数型计算器里设置最大能计算到9.9999999999999×10^99(约为10的100次方),那么就在积分上下限里输入一个大数或者多输入几个9(例如9999999999999999、1e+8这样的),也足够用了。这样的思路是正确的。那么来看看实际情况:

  从结果可以看出,当输入的上限合适的时候,结果是一个很大的数,我们可以认为是无穷了。太大的话,由于超出计算器的计算范围,计算器显示“数学错误”(或者“Math ERROR”)注意,这里的广义积分是发散的,结果是无穷,计算器算的数字也非常大,达到了预期的目的。但是对于收敛的广义积分,这个方法就有一定的问题了。

  那么现在用函数计算器计算一个收敛的广义积分:
函数f(x)=1/(1+x^2)在-∞到+∞上的积分。

  这个积分是收敛的,结果应该是π,但是计算器给出了数学错误,这不是我们想要的结果。那么把上下限改小再试试。

  上下限改小之后能计算,但是结果显然不正确。原因在后面说明。现在把上下限再改小。

  改到1e+5之后结果虽然与正确结果较为相近,但是远没有达到我们要的精度。经过试验,能够保证计算精度而又足够大的“无穷大”大约为1×10^12。

  再增大一个数量级,结果就不正确了。

  函数型计算器只能进行数值计算,计算积分也不例外。例如卡西欧MS系列采用辛普森数值积分法,ES(PLUS)、ClassWiz系列采用高斯积分法。为了简要说明原因,这里用辛普森积分法作讲解(注意:高斯积分法与辛普森积分法原理不同,这里只是为了便于理解,以辛普森法为例说明原因)。

  首先应该知道,利用数值计算方法计算定积分时,需要经历四个步骤:将曲边梯形分成很多小曲边梯形,然后将每一个小曲边梯形的曲边近似代替成方便计算的形状(例如直线、抛物线),然后对面积求代数和,最后取极限。

  辛普森法则是用二次曲线逼近的方式取代最简单的矩形或梯形积分公式,以得到比矩形或梯形积分公式更精确的结果。MS系列在积分时,需要确定分割积分区间的数目,输入1-9之间的整数n,能够将区间分为2^n个小区间,然后逐个计算小区间上的梯形面积并求和,得到结果。

  使用±1e+99作上下限时的结果说明,将小梯形面积加起来的过程中,和可能超过了计算器的最大计算范围。另外还有一种情况,计算器先综合被积式对积分上下限进行运算处理,处理过程中出现超出计算范围的情况,直接报错。

  但是,使用±1e+30或±1e+13作上下限时的结果也不是我们需要的。计算器在进行数值计算的时候,由于自身精度的影响,导致计算结果变得非常小。也可以拿第二个重要极限说明这个问题,(1+1/x)^x,当x取1×10^13时,结果为2.718281828(即自然对数的底e),但是x取1×10^14时,结果就变成1了,因为1/x太小,加到1上面就被忽略了。

  那么到这里我们可以得到一个初步的结论,用函数计算器计算广义积分的时候应当选取好合适的上下限。不过,“无穷大”的取值还与被积函数x的最低幂次有关,在后面会再讲到。

  以上的结论,对于卡西欧的fx-9860系列(包括fx-9750GII、fx-7400GII)与fx-CG系列(fx-CG10、fx-CG20)同样适用。

  对于德州仪器的非CAS计算器(如TI-36X Pro、TI-84 Plus等等),由于内部的计算精度低了一些,比较精确的结果就不要幻想了,还是前面的例子,只能把“无穷大”取在1×10^7,再大一些(比如1×10^8)会出现由于积分区间过大导致公差值错误,而且计算时间也很长。

  最新款的TI-84 Plus CE测试结果,与TI-84 Plus相同。

  上面的例子是x^(-2)级别的,对于更收敛的函数,例如x^(-4)级别的,用1×10^12替代无穷会出现计算错误。经分析,“无穷大”的值和被积函数中x的最低幂次项有关。经过一系列测试,对x^(-3)级别的广义积分收敛的函数,卡西欧计算器建议取1×10^7,德州仪器计算器建议取1×10^5。

  x^(-4)级别的,卡西欧计算器建议取1×10^5,德州仪器计算器建议取1×10^4。

  至于其他的函数,可以按照类似方法自己判断无穷限的替代值。


第二部分 无界函数广义积分的计算

  由于存在类似于除以0的问题,有时候会遇到计算定积分直接报错的情况,例如图中所示。这里要对1/x²积分,积分下限是0,计算器优先判断1/0而报错。

  在这种情况下可以把0用一个很小的数来代替,例如1×10^(-10),即可计算出结果,可以看到计算结果是一个很大的数,因此可以认为该广义积分发散。

  再看一个收敛的积分,函数f(x)=1/√(2²-x²)从0到2的积分,同样地,在x=2处会使得被积式无意义。

  因此,我们需要避开瑕点,在x=2的左δ邻域取2-δ为积分上限,这里取δ=1×10^(-10)。最终的结果精度也是比较好的。

  有时候,一些非CAS图形计算器能够计算部分瑕积分,只不过耗时较一般的积分时间长。

  另外,还有一类积分由于积分区间出现了可去间断点使得函数不连续,因此需要将积分区间从间断点处分开。以下将以sin(x)/x为例。

  计算sin(x)/x从-1到1的定积分,直接输入计算器就会报错:

  这里需要注意,函数机仍然需要使用一个很小的数去加上或者减去间断点。

  如果遇上同时拥有无界函数和无穷限两种情况的广义积分,还应该结合前篇所述的方法确定上下限。如图所示。